Родился в деревне Оларево (ныне Сокольский район Вологодской области) 27 апреля 1918 г. в крестьянской семье.
Окончил педагогический техникум в 1934 году, военно-политическое училище в 1940 году.
В годы Великой Отечественной войны командовал истребительным отрядом 33-й стрелковой дивизии Северо-Западного фронта, капитан, затем
командир 709-го стрелкового полка 178-й стрелковой дивизии, майор, подполковник.
Из донесения начальника политотдела 178-й дивизии от 29 января 1944 года: «Особенно отличились в боях подразделения 709-го стрелкового полка, где командиром подполковник Б.А. Костров, его заместителем по политчасти майор П.М. Шапкин. Бойцы 709-го стрелкового полка первыми ворвались в город Новосокольники и водрузили победное знамя. За умелую организацию боя представлены к награждению орденом Красного Знамени командир полка Костров, командир батальона капитан Кобзаренко и командир роты старший лейтенант Пыжов, бойцы которого первыми ворвались в город».
Заотличия в боях при прорыве линии Маннергейма и овладении городом-крепостью Выборг полку присвоено наименование Выборгский.
Великую Отечественную войну Б.А. Костров окончил в должности командира полка.
После войны находился на штабной работе в Забайкальском военном округе (1954-1956).
В 1952 году окончил Военную академию имени М.В. Фрунзе.
С 1956 по 1959 годы – заместитель командира 62-й гвардейской мотострелковой дивизии.
С 1959 по 1970 годы – начальник Калининского суворовского военного училища.
Награжден двумя орденами Красного Знамени, двумя орденами Красной Звезды, орденом Суворова II степени, орденом Трудового Красного Знамени, девятью медалями.
Б.А. Костров умер 30 апреля 1970 года.
Похоронен на Николо-Малицком кладбище г. Калинина.