Родился 13 мая 1916 года в деревне Жданухино Оричевского района Кировской области.
Закончил 3 курса Электротехнического института в 1939 году и курсы усовершенствования командного состава запаса в 1941 году.
На фронтах Великой Отечественной войны с сентября 1941 по октябрь 1942 года и с февраля 1943 по май 1945 года.
В составе войск Калининского фронта участвовал в контрнаступлении под Москвой, в боях за плацдарм южнее Старицы в районе Клепино-Воробьево (март-июль 1942 года).
В декабре 1942 года направлен на высшие стрелково-тактические курсы усовершенствования командного состава пехоты «Выстрел».
В 1943 году майор Загребин назначен командиром 1198-го стрелкового полка, который освобождал Ярцево и Смоленск, наступал на Оршанском направлении. В 1944 г. участвовал в Корсунь-Шевченковской, Проскуровско-Черновитской, Львовско-Сандомирской и Карпатско-Дуклинской операциях.
1198-й полк под командованием подполковника Загребина Д.И. за особые отличия в боях награжден орденом Красного Знамени.
Из Указа Президиума Верховного Совета Союза ССР от 18 августа 1944 года: «За образцовое выполнение задания командования в боях с немецко-фашистскими захватчиками, за овладение городом Львов и проявление при этом доблести и мужества 1196 и 1198 сп 359-й Ярцевской стрелковой дивизии наградить орденом Красного Знамени».
В 1945 году Загребин Д.И. участвовал в Висло-Одерской операции, а закончил войну 6 мая 1945 г. в боях за Бреслау (ныне Вроцлав, Польша).
После войны – начальник Саратовского военного пехотного училища (1951-1954)
Окончил Военную академия им. М.В. Фрунзе в 1956 году.
В дальнейшем Загребин Д.И.: начальник Калининского суворовского военного училища (1956-1959); начальник 2-го отдела Управления военно-учебных заведений Сухопутных войск (1959-1960); начальник 1-го отдела Управления военно-учебных заведений Сухопутных войск (1961-1964); заместитель начальника Военного института иностранных языков (1965-1976).
С 22 мая 1976 года Загребин Д.И. в запасе. Умер 28 сентября 2000 года в возрасте 84-х лет. Похоронен в Москве.